Proceeding k tlumeným harmonickým kmitům

Na úvod bych Vám rád poděkoval, že jste se rozhodl navštívit náš proceeding, který popisuje přednášku o tlumených a netlumených harmonických kmitech. Nejdříve teoretický úvod:

Netlumené harmonické kmity jsou přímým důsledkem zákona zachování energie, proto síly které působí v netlumeném harmonickém oscilátoru jsou konzervativní. Energie se v harmonickém oscilátoru periodicky mění z kinetické na potenciální. Síla působící na částici je tedy úměrná výchylce a konstantě vyjadřující tuhost například pružiny:

F=-kx

Jelikož síla vyjadřuje nárůst energie a v tomto případě závisí na x tedy výchylce, tak potenciální energie bude integrál síly podle x.

U(x)= o -kx dx=1/ 2kx2

Úhlová frekvence a amplituda se dá vyjádřit u netlumených kmitů takto:

w ₀=Ö ( k¤ m)

A=Ö ( x₀+v²_{0/ w} ²₀)

Z toho vyplývá, že úhlová frekvence nezávisí na amplitudě a amplituda zase závisí na počátečních podmínkách.

Přejdeme nyní k tlumenému harmonickému oscilátoru, kde do pohybových rovnic musíme zavést disipativní síly.

F=-kx-hv

h je konstanta vyjadřující míru disipativních sil

Dále pro jednoduchost zavedeme dekrement útlumu:

d =h/ 2m

A dostáváme novou uhlovou frekvenci a pohybovou rovnici:

w =Ö (w ²₀-d ²)

x(t)=Ae^{-d t}sin(w t+j ₀)

Ze kterých plyne, že perioda u málo tlumených kmitů bude také periodická, ale delší a kmity se budou tlumit exponenciálně.V případě kritického útlumu, kdy w ₀=d pohyb přestane být periodický a částice již nepřekmitne na druhou stranu osy.

Na naší přednášce jsme demonstrovali čtyři pokusy, které měli ověřit zda teorie koresponduje praxi. Nejprve jsme změřili konstantu k  tak, že jsme změřili délku pružiny bez závaží a poté se závažím. Z rozdílu délky pružiny jsme vypočítali konstantu a vlastní frekvenci oscilátoru. Nastavili jsme vypočtenou frekvenci do přístroje, který dodával periodicky energii do oscilátoru. Tím pádem se náš oscilátor ocitl v rezonanci, jak jsme předpokládali. Poté jsme zkoušeli skládání dvou kmitů tvz. rázy, kdy jsme rozkmitali oscilátor jeho vlastní frekvencí a dodávali jsme do něj frekvenci lehce rozdílnou od vlastní frekvence. Oscilátor se choval podle předpokladů tak, že jeho amplituda se periodicky zvětšovala a zmenšovala. Nakonec nejzajímavější pokus byly tlumené kmity. Jako tlumič jsme použili dva magnety, mezi kterými kmitala kovová tyčinka spojená s oscilátorem. Použili jsme nejprve slabší pár magnetů, což byl případ malého útlumu a amplituda tedy klesala podle očekávání exponenciálně, poté jsme použili silnější magnety, kdy oscilátor již nepřekmitl.

Všechny pokusy vyšli podle očekávání, za což bychom chtěli poděkovat ing. Vojtovi Svobodovi, který nám odborně radil.

Tyto dva grafy zachycují složení dvou kmitů tvz. rázy. Na levém grafu je každý zvlášť a na pravém jsou složeny v jeden.

Na těchto dvou grafech tlumené harmonické kmity. Vlevo je malý útlum, vpravo je případ silného útlumu.

Kdybyste měl někdo jakýkoliv dotaz ohledně harmonických, tak se můžete obrátit na Skrob.Jan@Post.cz Děkuji, že jste si přečetli náš proceeding.