Odvození Newtonova zákona ze zákonů Keplerových

Libor Klečka

Fyzikální seminář FJFI ČVUT

 

Isaac Newton byl první, kdo kdysi pochopil, že síla, která způsobuje pád těles na zem, také udržuje planety na jejich oběžných trajektoriích kolem Slunce. V roce 1687 Newton ve své knize Principia dokázal, že planety obíhají kolem Slunce, protože existuje síla s velkým dosahem (přitažlivost), která je přitahuje ke Slunci. Newton také dokázal, že velikost této síly závisí na hmotnostech obou těles a vzájemné vzdálenosti.

Newton si prý uvědomil velkou důležitost gravitace v roce 1666, když ve své zahradě uviděl, jak jablko spadlo ze stromu. Napadlo ho, že síla, která způsobila, že jablko spadlo ze stromu na zem není omezena na určitou vzdálenost od Země, ale že tato síla určitě působí mnohem dále, než si lidé myslí. Došel k názoru, že jestli působí třeba i k Měsíci, určitě ovlivní i jeho pohyb.

Newton byl přesvědčen, že gravitační síla klesá se čtvercem vzdálenosti. Tuto myšlenku ale bylo zapotřebí experimentálně ověřit. K tomu Newton použil výsledky německého matematika a astronoma Johanna Keplera. Ten na základě studia oběžné trajektorie Marsu sestavil zákony pohybu planet.

Dnes je známe jako 3 Keplerovy zákony:

1.Planety se pohybují po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce.

2.Obsahy ploch opsaných průvodičem za jednotku času jsou konstantní.

3.Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin hlavních poloos jejich trajektorií. Platí tedy:

Isaac Newton poté podal teoretické vysvětlení Keplerových objevů.

Vyjdeme ze znalosti zákona pro dostředivou sílu.

Nyní vyjdeme z druhého Keplerova zákona, který je vlastně zákonem zachování momentu hybnosti, a vypočteme obsah elipsy.

, kde w je plošná rychlost a

Do vzorce pro obsah elipsy dosadíme za vedlejší poloosu b a vyjádříme periodu T.

Nyní uvažujeme, že hmotnost Slunce je zdaleka větší než hmotnost obíhající planety, tu si pak můžeme dovolit zanedbat a Slunce budeme považovat za nehybné. Poté můžeme dosadit za , kde . Celou rovnici poté umocníme a dostáváme vztah pro .

, kdeuvažujeme jako koeficient společný pro všechny

planety. Z tohoto vztahu bychom lehce mohli odvodit 3.Keplerův zákon. Pouze bychom museli porovnávat tento vztah pro dvě různé planety. My ale za dosadíme do původního vzorce pro odstředivou sílu.

V prvním Keplerově zákoně se praví, že se planety pohybují po elipsách, které ale mají malou výstřednost. Trajektorie planet se tedy velmi podobají kružnicím. Nyní si dovolíme určité zjednodušení celého problému a budeme považovat trajektorii planety za kružnici. Jelikož víme, že hlavní poloosa a vlastně odpovídá průměrnému poloměru elipsy, dovolíme si za ni dosadit do rovnice poloměr kruhové dráhy r.Dostáváme tedy vztah:

Odtud obecně pro jakákoli dvě tělesa dostaneme známý vztah pro gravitační sílu:

 

Síla klesá se čtvercem vzdálenosti!!!

Abychom znali gravitační zákon v úplnosti musíme ještě určit gravitační konstantu .Je zapotřebí změřit sílu, kterou Země přitahuje známá tělesa na svém povrchu a známe-li Rz,,Mz a g, dostaneme gravitační konstantu ze vztahu:

Nejtěžší bylo určit hmotnost Země.To se poprvé povedlo poměrně přesně až anglickému fyzikovi Henrymu Cavendishovi v roce 1797, který k pokusu použil torzní váhy.

Při popisu v polárních souřadnicích vyjdeme z prvních dvou zákonů.

Pro složky zrychlení dostáváme:

Zrychlení planety má tedy pouze složku ar na spojnici planety a Slunce, kterou teď určíme.

Nyní vyjdeme ze vztahu a dosadíme.

Zrychlení ar odpovídá centrální přitažlivé (záporně vzaté) síle ,

která klesá se čtvercem vzdálenosti od Slunce ,

což odpovídá

Newtonovu gravitačnímu zákonu!!!

 

Torzní váhy

Torzní váhy vynalezl Ch. A. Coulomb při ověřování elektrostatických sil mezi dvěma nabitými kuličkami na vzdálenosti. Představují nejcitlivější přístroj k mechanickému měření sil. Silový moment N potřebný ke zkroucení dlouhého tenkého vlákna o úhel je úměrný čtvrté mocnině poloměru vlákna r a nepřímo úměrný délce vlákna l. Zmenšíme-li poloměr vlákna desetkrát, postačí ke zkroucení o týž úhel desettisíckrát menší síla.

,kde G je modul smyku materiálu vlákna